Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)
Einleitung Bearbeiten
Wir untersuchen hier Folgen gegen und das Verhalten von für diese Folgen, die gegen die wesentliche Singularität 0 konvergieren. Dieses konstruktive Vorgehen zeigt, dass es für jeden Bildpunkt in und in jeder punktierten -Umgebung um 0 eine Folge existiert, deren Bildfolge gegen konvergiert.
Laurant-Reihe für exp(1/z) Bearbeiten
Zunächst notieren wir die Laurent-Reihe für mit über die Definition der Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt .
- .
Berechnen Sie nun die Laurent-Entwicklung mit einem Entwicklungspunkt !
Bildpunkte von punktierten -Umgebungen Bearbeiten
Als Spezialfall des Satzes von Casorati-Weierstrass zeigen wir konstruktiv für :
- mit
Beweis (konstruktiv) Bearbeiten
Für die Bildpunkte wird eine Fallunterscheidung
- Fall 1:
- Fall 2:
vorgenommen.
Fall 1: Bearbeiten
Sei beliebig gewählt. Sei . Definieren Sie eine Folge in mit
Folgendefinition (Fall 1) Bearbeiten
Wir verwenden die Polarkoordinatendarstellung von mit
Wir zeigen die obige Konvergenzeigenschaft:
Fall 2: Bearbeiten
Sei . Definieren Sie eine Folge in mit
Folgendefinition (Fall 2) Bearbeiten
Wir verwenden die Eigenschaft der Exponentialfunktional aus mit mit
Wir zeigen nun die obigen Konvergenzeigenschaften!
Seiteninformation Bearbeiten
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