Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville

Der Satz von Liouville ist eine Aussage über holomorphe Funktionen, deren Definitionsbereich die ganze komplexe Ebene $\mathbb {C}$ ist.

Aussage

Sei $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ holomorph und beschränkt. Dann ist $f$ konstant.

Wir haben für jedes $R>0$ und jedes $z\in \mathbb {C}$ nach der Integralformel von Cauchy:

{\begin{array}{rl}|f'(z)|&=\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\left|\int _{\partial B_{R}(z)}{\frac {f(w)}{(w-z)^{2}}}\,dw\right|\\&\leq \displaystyle {\frac {1}{2\pi }}2\pi R\cdot {\frac {1}{R^{2}}}\cdot \sup _{w\in B_{R}(z)}|f(w)|\\&\leq {\frac {M}{R}}\\&\to 0,\qquad R\to \infty \end{array}}

also ist $f'=0$ und damit $f$ konstant.

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