Kurs:Funktionentheorie/Harmonische Funktion

Definition

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$ offen, eine Funktion $u\colon U\to \mathbb {R}$ heißt harmonisch, wenn sie zweimal differenzierbar ist und

$\Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

gilt.

Der Realteil einer holomorphen Funktion ist harmonisch, wie aus den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen folgt, interessanterweise gilt auch die Umkehrung, d. h. jede harmonische Funktion ist Realteil einer holomorphen Funktion.

Zusammenhang mit holomorphen Funktionen

Sei $U\subseteq \mathbb {C}$ einfach zusammenhängend. Für $u\in C^{2}(U,\mathbb {R} )$ sind äquivalent:

1. $\Delta u=0$
2. Es gibt ein $v\in C^{2}(U,\mathbb {R} )$, so dass $u+iv$ holomorph ist.

Beweis

2. $\implies$ 1. Nach den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen gilt:

${\begin{array}{rl}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\\&={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)\\&={\frac {\partial ^{2}v}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y\partial x}}\\&=0.\end{array}}$

1. $\implies$ 2. Betrachte die Funktion $\textstyle g:={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}$. Nach den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen ist $g$ holomorph. Da $U$ einfach zusammenhängend ist, gibt es eine Stammfunktion $f\colon U\to \mathbb {C}$ von $g$, wir dürfen (durch Addition einer Konstante) annehmen, dass $u(z_{0})=f(z_{0})$ für ein $z_{0}\in U$ gilt. Schreibe $f=u_{1}+iv_{1}$. Es ist

${\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}-i{\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}=f'=g={\frac {\partial u}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}$

also ist $u_{1}-u$ konstant. Wegen $u_{1}(z_{0})=f(z_{0})=u(z_{0})$ ist $u_{1}=u$ und $v:=v_{1}$ leistet das Gewünschte.