Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen
In dieser Lernresource werden gebrochen rationale Funktionen in Laurent-Reihen entwickelt, um das Residuum ablesen zu können.
Von einer gebrochen rationalen Funktion zur Laurent-Reihe Bearbeiten
Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:
- mit
Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt .
Definition von Konstanten Bearbeiten
Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.
Umformung in eine Laurent-Reihe Bearbeiten
Das Residuum , da bei der Laurent-Entwicklung im Hauptteil nur die Koeffizienten 0 auftreten (d.h. der Hauptteil verschwindet).
Faktorisierte Potenzen mit Entwicklungspunkt im Nenner Bearbeiten
Definition der Funktion g Bearbeiten
Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:
- mit
Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt .
Definition von Konstanten Bearbeiten
Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.
Umformung in eine Laurent-Reihe Bearbeiten
Das Residuum .
Laurent-Reihe mit unendlich vielen Summanden im Hauptteil Bearbeiten
Gegeben ist zunächst eine einfache gebrochen-rationale Funktion der Form:
- mit
Ziel ist die Entwicklung in eine Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt .
Definition von Konstanten Bearbeiten
Wir definieren folgende weitere Konstanten, die für die bessere Sichtbarkeit der Operationen verwendet werden.
Umformung in eine Laurent-Reihe mit m=1 Bearbeiten
Das Residuum .
Umformung in eine Laurent-Reihe mit Bearbeiten
Als Residuum für erhält man