Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe/Lösung

1. Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
2. Es sei ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

   $F\colon U\longrightarrow V$

   ein stetiges Vektorfeld und

   $\gamma \colon [a,b]\longrightarrow U$

   eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

   $g\colon [c,d]\longrightarrow [a,b]$

   eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei ${}{\tilde {\gamma }}=\gamma \circ g$. Dann gilt

   ${}\int _{\gamma }F=\int _{\tilde {\gamma }}F\,.$

3. Es seien ${}V,W$ und ${}U$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ und ${}D\subseteq W$ offene Mengen, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass ${}\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}\varphi$ in ${}P\in G$ und ${}\psi$ in ${}\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist. Dann ist ${}\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in ${}P$ differenzierbar mit dem totalen Differential

   ${}\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$

Zur gelösten Aufgabe