Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall, ${}a\in I$ und ${}r$ sei ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$. Es seien

   $f,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

   stetige Funktionen mit

   $f(t)\leq h(t){\text{ für alle }}t\in I$

   und es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

   $\int _{a}^{r}h(t)\,dt$

   existiert. Dann existiert auch das uneigentliche Integral

   $\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

   und es gilt

   $\int _{a}^{r}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{r}h(t)\,dt.$

2. Es seien ${}V,W$ und ${}U$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$-Vektorräume, ${}G\subseteq V$ und ${}D\subseteq W$ offene Mengen, und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ und ${}\psi \colon D\rightarrow U$ Abbildungen derart, dass ${}\varphi (G)\subseteq D$ gilt. Es sei weiter angenommen, dass ${}\varphi$ in ${}P\in G$ und ${}\psi$ in ${}\varphi (P)\in D$ total differenzierbar ist. Dann ist ${}\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U$ in ${}P$ differenzierbar mit dem totalen Differential

   ${}\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.$

3. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge und

   $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}G$ ist ein Gradientenfeld.
   2. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

Zur gelösten Aufgabe