Uneigentliches Integral/Randpunkt von Intervall/Definition

Uneigentliches Integral

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall, ${}r$ ein (uneigentlicher) Randpunkt von ${}I$ und ${}a\in I$. Es sei eine stetige Funktion

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu ${}f$ für ${}x\rightarrow r$ existiert, wenn der Grenzwert

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow r}\,\int _{a}^{x}f(t)\,dt$

existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch

$\int _{a}^{r}f(t)\,dt$

und nennt dies das uneigentliche Integral von ${}a$ nach ${}r$