- Ein Teilmengensystem
auf
heißt
-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
.
- Mit
gehört auch das Komplement
zu
.
- Für jede abzählbare Familie
,
,
ist auch
-
- Das Borel-Lebesgue-Maß auf
ist das
(eindeutig bestimmte)
Maß
auf
, das für jeden
Quader
der Form
den Wert
besitzt.
- Es sei
die Menge der
Häufungspunkte
der Folge
. Dann setzt man
-
![{\displaystyle {}\operatorname {lim} \operatorname {sup} \,{\left((x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\right)}={\operatorname {sup} \,(H)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3194a3f0f91e288d85647436f2b80a1446b26bec)
und nennt diese Zahl
(eventuell
)
den Limes superior der Folge.
- Der Kegel zur Basis
mit der Spitze
ist definiert durch
-
![{\displaystyle {}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20821b5a78244db3ad4cb7ff16d21910ee77202f)
- Die beiden Kurven
und
heißen tangential äquivalent in
, wenn es eine offene Umgebung
und eine
Karte
-
mit
derart gibt, dass
-
![{\displaystyle {}{\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{1}{|}_{\gamma _{1}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)={\left(\alpha \circ {\left(\gamma _{2}{|}_{\gamma _{2}^{-1}(U)}\right)}\right)}'(0)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d88241c1609f818a45a97fb00f3749016f5f9db)
gilt.
- Der Punkt
heißt regulär für
, wenn die
Tangentialabbildung
-
im Punkt
maximalen Rang
besitzt.
- Es seien
-
und
-
orientierte Karten von
. Der zugehörige
Kartenwechsel
-
heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt
das
totale Differential
-
orientierungstreu
ist.
- Die Form
besitzt auf
eine Darstellung
-
mit
stetig differenzierbaren Funktionen
-
Dann ist die äußere Ableitung die
-Form
-
![{\displaystyle {}d\omega =\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}df_{I}\wedge dx_{I}=\sum _{I\subseteq \{1,\ldots ,n\},\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{I}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}\wedge dx_{I}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02312595351dde65651e09292d5154cbb7288e8a)