Analysis 3/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Ein Teilmengensystem ${}{\mathcal {A}}$ auf ${}M$ heißt ${}\sigma$-Algebra, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
   1. Es ist ${}M\in {\mathcal {A}}$.
   2. Mit ${}T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch das Komplement ${}M\setminus T$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
   3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, ist auch

      $\bigcup _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}.$

2. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ mit ${}\mu (M)=1$.
3. Man sagt, dass eine Teilmenge ${}Z\subseteq M$ die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle ${}S\subseteq M$ die Gleichheit ${}{\tilde {\mu }}(S)={\tilde {\mu }}(S\cap Z)+{\tilde {\mu }}(S\cap (M\setminus Z))$ gilt.
4. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ heißt eine topologische Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$, wenn es eine offene Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ derart gibt, dass jedes ${}U_{i}$ homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist.
5. Eine abgeschlossene Teilmenge ${}M\subseteq N$ heißt abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt ${}P\in M$ eine Karte gibt mit ${}P\in W\subseteq N$ offen, ${}\theta \colon W\rightarrow W'$, ${}W'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und mit

   ${}M\cap W=\theta ^{-1}((\mathbb {R} ^{m}\times \{0\})\cap W')\,.$

6. Eine ${}k$-Differentialform ist ein Schnitt im ${}k$-fachen Dachprodukt des Kotangentialbündels.

Zur gelösten Aufgabe