Analytische Fortsetzung/Holomorphe Funktion/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}\gamma \colon [0,1]\rightarrow X$ ein stetiger Weg mit ${}\gamma (0)=Q$ und ${}\gamma (1)=P$ und sei ${}g$ ein Keim in ${}P$, der durch analytische Fortsetzung längs ${}\gamma$ aus ${}f_{Q}$ entsteht. Dann gibt es eine Unterteilung ${}0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=1$, zusammenhängende offene Mengen ${}U_{i}\subseteq X$ mit ${}\gamma ([t_{i-1},t_{i}]\subseteq U_{i}$ und holomorphe Funktionen ${}f_{i}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$ derart, dass ${}f_{1}=f_{Q}$, ${}f_{n}=g$ und ${}f_{i}$ und ${}f_{i+1}$ in einer offenen Umgebung von ${}\gamma (t_{i})$ übereinstimmen. Wir zeigen durch Induktion nach ${}i$, dass ${}f_{i}$ mit ${}f{|}_{U_{i}}$ übereinstimmt. Aufgrund des Zusammenhangs und des Identitätssatzes genügt es, die Übereinstimmung im Halm eines Punktes nachzuweisen. Daher ergibt sich der Induktionsschritt direkt aus der Bedingung

${}f_{i+1,\gamma (t_{i})}=f_{i,\gamma (t_{i})}=f_{\gamma (t_{i})}\,,$

der Induktionsanfang ist unmittelbar erfüllt.

Zur gelösten Aufgabe