Anfangswertproblem/(tx-y^2,xy-t^2)/Anfang (0,1)/Potenzreihenansatz/Beispiel

Wir betrachten das Anfangswertproblem

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}tx-y^{2}\\xy-t^{2}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}x(0)=0{\text{ und }}y(0)=1$

und machen den Potenzreihenansatz ${}x(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}$ und ${}y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}$. Aufgrund der Anfangsbedingung ist

$a_{0}=0\,\,{\text{ und }}\,\,b_{0}=1.$

Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen

${}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{\prime }=\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}t^{k-1}=t{\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}-{\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}\right)}^{2}\,$

und

${}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}\right)}^{\prime }=\sum _{k=1}^{\infty }kb_{k}t^{k-1}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}\right)}-t^{2}\,,$

die wir gradweise auswerten. Für den Grad ${}0$ (der Potenzreihengleichungen) ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

$a_{1}=-b_{0}^{2}=-1\,\,{\text{ und }}\,\,b_{1}=a_{0}b_{0}=0.$

Für den Grad ${}1$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

$2a_{2}=a_{0}-2b_{0}b_{1}=0\,\,{\text{ und }}\,\,2b_{2}=a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}=-1,$

also ist ${}a_{2}=0$ und ${}b_{2}=-{\frac {1}{2}}$. Für den Grad ${}2$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

$3a_{3}=a_{1}-2b_{0}b_{2}-b_{1}^{2}=-1+1=0\,\,{\text{ und }}\,\,3b_{3}=a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0}-1=-1,$

also ist ${}a_{3}=0$ und ${}b_{3}=-{\frac {1}{3}}$. Für den Grad ${}3$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

$4a_{4}=a_{2}-2b_{0}b_{3}-2b_{1}b_{2}={\frac {2}{3}}\,\,{\text{ und }}\,\,4b_{4}=a_{0}b_{3}+a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{0}={\frac {1}{2}},$

also ist ${}a_{4}={\frac {1}{6}}$ und ${}b_{4}={\frac {1}{8}}$. Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ${}4$ ist demnach

$\left(-t+{\frac {1}{6}}t^{4},\,1-{\frac {1}{2}}t^{2}-{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {1}{8}}t^{4}\right).$