Anfangswertproblem/Zweiter Ordnung/y'' ist y' y+sin t/Anfang (0,1)/Potenzreihenansatz/Beispiel

Wir betrachen das Anfangswertproblem

$y^{\prime \prime }=y'y+\sin t{\text{ mit }}y(0)=0{\text{ und }}y'(0)=1$

und wollen es mit einem Potenzreihenansatz lösen. Es sei also

${}y(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\,,$

die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit

${}{\begin{aligned}{\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}^{\prime \prime }&=\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)a_{k}t^{k-2}\\&={\left(\sum _{k=1}^{\infty }ka_{k}t^{k-1}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}\right)}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{(2n+1)!}}t^{2n+1}.\end{aligned}}$

Die Anfangsbedingung legt ${}a_{0}=0$ und ${}a_{1}=1$ fest. Für den konstanten Term (also zu ${}t^{0}$) ergibt sich aus der Potenzreihengleichung

${}2a_{2}=a_{1}a_{0}=0\,,$

also ist ${}a_{2}=0$. Für ${}t^{1}$ ergibt sich

${}6a_{3}=a_{1}^{2}+2a_{2}a_{0}+1=2\,$

also ist ${}a_{3}={\frac {1}{3}}$. Für ${}t^{2}$ ergibt sich

${}12a_{4}=a_{1}a_{2}+2a_{2}a_{1}+3a_{3}a_{0}=0\,,$

also ist ${}a_{4}=0$. Für ${}t^{3}$ ergibt sich

${}20a_{5}=a_{1}a_{3}+2a_{2}^{2}+3a_{3}a_{1}+4a_{4}a_{0}-{\frac {1}{6}}={\frac {4}{3}}-{\frac {1}{6}}={\frac {7}{6}}\,,$

also ist ${}a_{5}={\frac {7}{120}}$. Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ${}5$ ist demnach

$t+{\frac {1}{3}}t^{3}+{\frac {7}{120}}t^{5}.$