Es sei
ein
offenes Intervall,
offen
und
-
eine
Funktion.
Dann nennt man den Ausdruck
-
eine Differentialgleichung der Ordnung .
Unter einer Lösung einer Differentialgleichung höherer Ordnung versteht man eine -mal differenzierbare Funktion
-
(wobei
ein offenes Teilintervall ist)
derart, dass
-
für alle
gilt.
Differentialgleichungen beliebiger Ordnung können unter Inkaufnahme von neuen Variablen auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurückgeführt werden.
Es sei
ein
Intervall,
eine
offene Menge
und
-
eine
Funktion.
Dann ist die
Differentialgleichung höherer Ordnung
-
über die Beziehung
-
äquivalent zum
Differentialgleichungssystem
-
Wenn
-
eine
Lösung
der
Differentialgleichung höherer Ordnung
-
ist, so sind alle Funktionen
für
differenzierbar,
und es gilt
für
nach Definition und schließlich
Wenn umgekehrt
-
eine
Lösung
des Differentialgleichungssystems zum Vektorfeld
-
ist, so ergibt sich sukzessive aus den ersten Gleichungen, dass
-mal
differenzierbar
ist, und die letzte Gleichung des Differentialgleichungssystems besagt gerade
-
Mit dieser Umformung ist auch klar, wie sinnvolle Anfangsbedingungen für eine Differentialgleichung höherer Ordnung aussehen. Man muss nicht nur einen Startwert
,
sondern auch die höheren Ableitungen
,
,
usw. festlegen.