Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition

Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein reelles Intervall, ${}U\subseteq V$ eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}v'=f(t,v)\,$

heißt eine Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem offenen (Teil)Intervall ${}J\subseteq I$ eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Es ist ${}v(t)\in U$ für alle ${}t\in J$.
2. Die Abbildung ${}v$ ist differenzierbar.
3. Es ist ${}v'(t)=f(t,v(t))$ für alle ${}t\in J$.