Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Cauchy-Folge und Konvergenz/Fakt

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}c\in K_{+}$. Es sei ${}x_{0}$ ein positiver Startwert und ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ die zugehörige Heron-Folge. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Heron-Folge ist eine Cauchy-Folge.
2. Wenn es in ${}K$ ein positives Element ${}x$ mit ${}x^{2}=c$ gibt, so konvergiert die Folge gegen dieses Element.
3. Wenn die Folge in ${}K$ gegen ein Element ${}x$ konvergiert, so ist ${}x^{2}=c$.

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