- Zu
ist nach
Fakt (3)
und somit ist
-
![{\displaystyle {}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \vert {x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}}\vert \,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e981eea71fa6dd9853ad871bc9030b44da61100)
Diese Intervalllängen bilden nach
Fakt (4)
eine
Nullfolge.
- Nach
Fakt (1)
ist
-
![{\displaystyle {}{\frac {c}{x_{n}}}\leq {\sqrt {c}}\leq x_{n}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b0b810cfce26447f24d7d14efa687908a575da3)
Somit ist
-
![{\displaystyle {}0\leq \vert {x_{n}-{\sqrt {c}}}\vert \leq \vert {x_{n}-{\frac {c}{x_{n}}}}\vert \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ff547670db3374ab958e7c83d89c8f37f971ab)
und rechts steht wieder die Nullfolge. Die Aussage folgt daher aus
dem Quetschkriterium.
- Nach
Fakt
kann der Grenzwert nicht
sein. Nach
Fakt (5)
konvergiert daher
gegen
und somit konvergiert nach
Fakt (1)
-
![{\displaystyle {}x_{n+1}={\frac {x_{n}+{\frac {c}{x_{n}}}}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4055fb2c36cd790c97aca880d76cb43a3d0e64)
(Betrachten der beiden Seiten)
gegen
-
![{\displaystyle {}x={\frac {x+{\frac {c}{x}}}{2}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da8d7092f74a832ebab0c2f2175e34802e6e8fad)
Daraus ergibt sich
.