Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Cauchy-Folge und Konvergenz/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Zu ist nach Fakt  (3) und somit ist

    Diese Intervalllängen bilden nach Fakt  (4) eine Nullfolge.

  2. Nach Fakt  (1) ist

    Somit ist

    und rechts steht wieder die Nullfolge. Die Aussage folgt daher aus dem Quetschkriterium.

  3. Nach Fakt kann der Grenzwert nicht sein. Nach Fakt  (5) konvergiert daher gegen und somit konvergiert nach Fakt  (1)

    (Betrachten der beiden Seiten) gegen

    Daraus ergibt sich .