Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt/Beweis

Beweis

In der Definition der Dezimalbruchfolge wird

${}x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}\,$

mit ${}u_{n}\in \mathbb {Z}$ und ${}0\leq v_{n}<10^{-n}$ berechnet. Daher ist einerseits

${}x_{n}=u_{n}\cdot 10^{-n}\leq x\,$

und andererseits

${}x=u_{n}\cdot 10^{-n}+v_{n}=x_{n}+v_{n}<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,.$

Die Eigenschaft

${}x_{n}\leq x_{n+1}\,$

ergibt sich auch unmittelbar.

Zur bewiesenen Aussage