Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt

Es sei ${}x\in K$ ein Element in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ und es sei ${}(x_{n})$, ${}n\in \mathbb {N}$, die zugehörige (kanonische) Dezimalbruchfolge.

Dann ist

${}x_{n}\leq x<x_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}\,,$

d.h. der ${}n$-te Dezimalbruch der Folge approximiert die Zahl ${}x$ bis auf einen Fehler von maximal ${}{\frac {1}{10^{n}}}$. Es liegt eine Dezimalbruchfolge im Sinne von Definition vor.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen