Auflösbare Gruppe/Kurze exakte Sequenz/Kriterium/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst ${}G$ auflösbar. Nach Fakt ist ${}N\subseteq G$ auflösbar.
Betrachten wir also die Restklassengruppe ${}H=G/N$ und fixieren wir eine auflösende Filtrierung

${}\{e\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq G_{2}\subseteq \ldots \subseteq G_{k-1}\subseteq G_{k}=G\,.$

Es sei

$q\colon G\longrightarrow H$

der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen ${}H_{i}=q(G_{i})$, dies ist eine Filtrierung von ${}H$ mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}G_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G_{i+1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\H_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H_{i+1}&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass ${}H_{i}$ ein Normalteiler in ${}H_{i+1}$ ist, und ziehen dazu Fakt heran. Es sei also ${}h\in H_{i}$ und ${}x\in H_{i+1}$, die wir durch ${}{\tilde {h}}\in G_{i}$ bzw. ${}{\tilde {x}}\in G_{i+1}$ repräsentieren. Dann ist ${}xhx^{-1}=q{\left({\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\right)}$ und wegen der Normalität von ${}G_{i}$ in ${}G_{i+1}$ ist ${}{\tilde {x}}{\tilde {h}}{\tilde {x}}^{-1}\in G_{i}$ und somit ${}xhx^{-1}\in H_{i}$. Wir betrachten die zusammengesetzte surjektive Abbildung

$G_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i}.$

Da ${}G_{i}$ zum Kern dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von Fakt eine surjektive Abbildung

$G_{i+1}/G_{i}\longrightarrow H_{i+1}/H_{i},$

weshalb ${}H_{i+1}/H_{i}$ ebenfalls kommutativ ist.

Es seien nun ${}N$ und ${}H=G/N$ auflösbar, sei ${}q\colon G\rightarrow G/N$ der Restklassenhomomorphismus und seien

${}\{e\}=N_{0}\subseteq N_{1}\subseteq N_{2}\subseteq \ldots \subseteq N_{k-1}\subseteq N_{k}=N\,$

und

${}\{e\}=H_{0}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \ldots \subseteq H_{\ell -1}\subseteq H_{\ell }=H\,$

auflösende Filtrierungen. Wir ergänzen die Filtrierung von ${}N$ durch die Urbilder ${}G_{j}=q^{-1}(H_{j})$ zu einer Filtrierung von ${}G$. Die surjektive Abbildung

$G_{j+1}\longrightarrow H_{j+1}\longrightarrow H_{j+1}/H_{j}$

besitzt den Kern ${}G_{j}$ und zeigt, dass ${}G_{j}$ ein Normalteiler in ${}G_{j+1}$ mit kommutativer Restklassengruppe ist.

Zur bewiesenen Aussage