Auflösbare Gruppe/Restklassengruppe/Aufgabe/Lösung


Wir fixieren eine auflösende Filtrierung

Es sei
der Restklassenhomomorphismus. Wir setzen , dies ist eine Filtrierung von mit Untergruppen. Wir betrachten das kommutative Diagramm

wobei die vertikalen Homomorphismen surjektiv sind. Wir behaupten, dass ein Normalteiler in ist, und ziehen dazu Fakt heran. Es sei also und , die wir durch bzw. repräsentieren. Dann ist und wegen der Normalität von ist und somit . Wir betrachten die zusammengesetzte surjektive Abbildung

Da zum Kern dieser Abbildung gehört, gibt es aufgrund von Fakt eine surjektive Abbildung

weshalb ebenfalls kommutativ ist.