Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge ${}V$. Zeige die folgenden Regeln für die Ableitungsbeziehung (dabei seien $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha _{i}$ Aussagen).

1. Konjunktionsregel: ${}\Gamma \vdash \alpha \wedge \beta$ genau dann, wenn ${}\Gamma \vdash \alpha$ und ${}\Gamma \vdash \beta$.
2. Kettenschlussregel: Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$ und ${}\Gamma \vdash \beta \rightarrow \gamma$, dann auch ${}\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \gamma$.
3. Modus ponens: Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha$ und ${}\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$, dann ist auch ${}\Gamma \vdash \beta$.
4. Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha$, so auch ${}\Gamma \vdash \beta \rightarrow \alpha$.
5. Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha _{1},\ldots ,\Gamma \vdash \alpha _{n}$ und ${}\Gamma \vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \beta$, dann auch ${}\Gamma \vdash \beta$.
6. Widerspruchsregel: Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha$ und ${}\Gamma \vdash \neg \alpha$, dann auch ${}\Gamma \vdash \beta$.
7. Fallunterscheidungsregel: Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$ und ${}\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta$, dann auch ${}\Gamma \vdash \beta$.

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