Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Konjunktion/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Axiom  (4) ist

$\vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha \right)}$

und wegen Axiom  (1) ist

$\vdash \alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \alpha \right)},$

sodass mit Modus ponens auch

$\vdash \alpha \wedge \beta \rightarrow \alpha$

gilt. Für die andere Behauptung gehen wir von Fakt aus, was

$\vdash \beta \rightarrow \beta$

liefert. Wegen Axiom  (1) haben wir

$\vdash {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}\right)},$

also mit Modus ponens auch

$\vdash \alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}.$

Nach Axiom  (4) ist

$\vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\beta \rightarrow \beta \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \wedge \beta \rightarrow \beta \right)},$

woraus sich nach dem bisher Bewiesenen

$\alpha \wedge \beta \rightarrow \beta$

ergibt.

Zur bewiesenen Aussage