Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Triviale Implikation/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

$\vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\wedge {\left(\neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}$

nach Axiom  (6), woraus sich nach Axiom  (4) mit Modus Pones auch

$\vdash {\left(\alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left({\left(\neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}$

ergibt. Wegen Axiom  (1) ist

$\vdash \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}$

und daher mit Modus ponens auch

$\vdash {\left(\neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}\right)}\rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)}.$

Wegen Axiom  (5) ist

$\vdash \neg \alpha \wedge \alpha \rightarrow \alpha$

und damit mit Axiom  (4) auch

$\vdash \neg \alpha \rightarrow {\left(\alpha \rightarrow \alpha \right)},$

sodass sich

$\vdash \alpha \rightarrow \alpha$

ergibt.

Zur bewiesenen Aussage