Wir zeigen zuerst durch Induktion über den Aufbau der Sprache, dass für jedes
die Alternative
oder
gilt. Daraus folgt die maximale Widerspruchsfreiheit. Für
eine Aussagenvariable ist dies Teil der Voraussetzung. Bei
folgt wegen
die Aussage aus der Induktionsvoraussetzung, da abgeschlossen unter Ableitungen ist. Es sei nun
.
Bei
und
ist wegen der Ableitungsabgeschlossenheit auch . Wenn hingegen ist, so folgt nach der Induktionsvoraussetzung . Aufgrund der Tautologie ergibt sich . Der Beweis für die Implikation verläuft ähnlich, siehe
Aufgabe.
Zum Nachweis, dass maximal widerspruchsfrei ist, sei angenommen. Nach dem, was wir eben bewiesen haben, gilt dann . Dann ist aber
und somit ist diese erweiterte Menge widersprüchlich.