Aussagenlogik/Maximal widerspruchsfrei/Vollständigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der Widerspruchsfreiheit können nicht sowohl ${}\alpha$ als auch ${}\neg \alpha$ zu ${}\Gamma$ gehören. Wenn weder ${}\alpha$ noch ${}\neg \alpha$ zu ${}\Gamma$ gehören, so ist entweder ${}\Gamma \cup \{\alpha \}$ oder ${}\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck ${}\beta$ sowohl

$\Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta$

als auch

$\Gamma \cup \{\neg \alpha \}\vdash \beta$

gelten. Dies bedeutet nach Aufgabe

$\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$

und

$\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta ,$

woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel

$\Gamma \vdash \beta$

folgt. Dies bedeutet aber, dass ${}\Gamma$ widersprüchlich ist.

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