Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiomatik/Konjugierte Implikation/Fakt/Beweis

Beweis

1. Nach Axiom  (2) ist

   $\vdash {\left(\alpha \wedge \gamma \rightarrow \alpha \right)}\wedge {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\rightarrow {\left(\alpha \wedge \gamma \rightarrow \beta \right)}$

   und daher mit Axiom  (4) auch

   $\vdash (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \alpha )\rightarrow ((\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \beta )).$

   Der Vordersatz ist nach Fakt ableitbar, also auch der Nachsatz.
   

2. Nach Teil (1) ist

   $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\rightarrow (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \beta )$

   und (unter Verwendung von Fakt und Aufgabe)

   $\vdash (\gamma \rightarrow \delta )\rightarrow (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \delta ).$

   Daher gilt auch (nach der Regelversion zu Teil (1))

   $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\gamma \rightarrow \delta )\rightarrow (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \beta )$

   und

   $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\gamma \rightarrow \delta )\rightarrow (\alpha \wedge \gamma \rightarrow \delta )$

   bzw. unter Verwendung von Axiom  (4) und der Assoziativität der Konjunktion

   $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\gamma \rightarrow \delta )\wedge \alpha \wedge \gamma \rightarrow \beta$

   und

   $\vdash (\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\gamma \rightarrow \delta )\wedge \alpha \wedge \gamma \rightarrow \delta .$

   Nach Axiom  (3) ist mit der Abkürzung ${}\varphi =(\alpha \rightarrow \beta )\wedge (\gamma \rightarrow \delta )\wedge \alpha \wedge \gamma$

   $\vdash (\varphi \rightarrow \beta )\wedge (\varphi \rightarrow \delta )\rightarrow (\varphi \rightarrow \beta \wedge \delta ).$

   Da die beiden Teilaussagen im Vordersatz ableitbar sind, ist auch der Nachsatz ableitbar, was unter Verwendung von Axiom  (4) zur Behauptung umformulierbar ist.
   

Zur bewiesenen Aussage