Es sei
,
,
eine
(surjektive, aber nicht notwendigerweise injektive)
Aufzählung der Aussagenvariablen. Die Voraussetzung bedeutet, dass
keinen Widerspruch enthält. Wir konstruieren eine
(endliche oder abzählbar unendliche)
Folge von aufsteigenden widerspruchsfreien Teilmengen
,
wobei in
für jede Variable
,
,
die Alternative entweder
oder
gilt. Das Konstruktionsverfahren definieren und diese Aussage beweisen wir durch Induktion über
.
Für
ist dies richtig. Es sei
schon konstruiert. Bei
oder
setzen wir
-

Wegen der Widerspruchsfreiheit von
können nicht sowohl
als auch
zu
gehören. Wenn weder
noch
zu
gehören, so setzen wir
-

(man könnte genauso gut
hinzunehmen).
Nach Konstruktion ist
abgeschlossen unter der Ableitungsbeziehung und erfüllt die
(Oder)-Alternative für alle Variablen
,
.
Wenn
widersprüchlich wäre, so gelte insbesondere
. Dann würde aber auch
gelten und somit nach der Fallunterscheidungsregel auch
, also
im Widerspruch zu dem Fall, in dem wir uns befinden. Daher liegt für die Aussagenvariablen auch die Entweder-Oder-Alternative vor.
Mit dieser induktiven Definition setzen wir
-

Diese Menge
ist widerspruchsfrei, da andernfalls schon eines der
einen Widerspruch enthalten würde, und auch abgeschlossen unter Ableitungen, da dies für die einzelnen
gilt und eine Ableitung nur endlich viele Voraussetzungen besitzt. Ferner gilt für jedes
die Alternative
oder
.
Damit sind die Voraussetzungen von
Fakt
erfüllt und
ist maximal widerspruchsfrei.