Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Beliebiger Fall/Fakt/Beweis

Beweis

Dass die Ableitungsbeziehung die Folgerungsbeziehung impliziert, wurde bereits im Rahmen der Korrektheitsüberlegungen zu den Ableitungsregeln gezeigt. Für die Umkehrung nehmen wir ${}\Gamma \not \vdash \alpha$ an. Dies bedeutet nach Aufgabe, dass ${}\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ widerspruchsfrei ist. Nach Fakt ist dann auch ${}\Gamma \cup \{\neg \alpha \}$ erfüllbar. Es gibt also eine Wahrheitsbelegung mit ${}I\vDash \Gamma$ und ${}I\vDash \neg \alpha$. Also ist ${}\Gamma \not \vDash \alpha$.

Zur bewiesenen Aussage