Basis/Eindeutige Darstellung/Koordinaten/Bemerkung

Es sei eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraums ${}V$ gegeben. Aufgrund von Fakt  (3) bedeutet dies, dass es für jeden Vektor ${}u\in V$ eine eindeutig bestimmte Darstellung (eine Linearkombination)

${}u=s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\,$

gibt. Die dabei eindeutig bestimmten Elemente ${}s_{i}\in K$ (Skalare) heißen die Koordinaten von ${}u$ bezüglich der gegebenen Basis. Bei einer gegebenen Basis entsprechen sich also die Vektoren aus ${}V$ und die Koordinatentupel ${}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})\in K^{n}$. Man sagt, dass eine Basis ein lineares Koordinatensystem festlegt.