Vektorraum/Charakterisierungen von Basis/Maximal/Minimal/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Familie ist eine Basis von ${}V$.
2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
3. Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung

   ${}u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}\,.$

4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen