Basisaustauschsatz/1/Beispiel

Wir betrachten die Standardbasis ${}e_{1},e_{2},e_{3}$ des ${}K^{3}$ und die beiden linear unabhängigen Vektoren ${}u_{1}={\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}$ und ${}u_{2}={\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}$, die wir mit Hilfe der Standardbasis gemäß dem im Beweis zum Basisaustauschsatz beschriebenen Verfahren zu einer Basis ergänzen wollen. Betrachten wir zunächst

${}u_{1}=3e_{1}+2e_{2}+e_{3}\,.$

Da sämtliche Koeffizienten nicht ${}0$ sind, kann man ${}u_{1}$ mit je zwei der Standardvektoren zu einer Basis ergänzen. Wir nehmen die neue Basis

$u_{1},e_{1},e_{2}.$

Als zweiten Schritt wollen wir ${}u_{2}$ in die Basis mitaufnehmen. Es ist

${}u_{2}={\begin{pmatrix}5\\4\\2\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}}-e_{1}=2u_{1}-e_{1}+0e_{2}\,.$

Nach dem Beweis müssen wir ${}e_{1}$ rauswerfen, da es mit einem Koeffizienten ${}\neq 0$ in dieser Gleichung vorkommt (${}e_{2}$ dürften wir nicht rauswerfen). Die neue Basis ist somit

$u_{1},u_{2},e_{2}.$