Basiswechsel/Übergangsmatrix/2x2-Matrizen/1/Aufgabe

Es sei ${}V$ der Vektorraum der ${}2\times 2$ -Matrizen mit der Standardbasis

{}{\mathfrak {u}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.

Zeige, dass

{}{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\,

ebenfalls eine Basis von ${}V$ ist und bestimme die Übergangsmatrizen.