Basiswechsel/Übergangsmatrix/Teilsummen/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}v_{2}=w_{2}-w_{1}\,$

und

${}v_{3}=w_{3}-w_{2}+w_{1}\,.$

Daher ist ${}w_{1},w_{2},w_{3}$ ebenfalls ein Erzeugendensystem von ${}V$ und somit eine Basis, da die Dimension ${}3$ ist.

b) In den Spalten von ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$ müssen die Koordinaten der Vektoren ${}w_{j}$ bezüglich der Basis ${}v_{i}$ stehen, also ist

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

c) Nach a) ist

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}\,.$

d) Die Koordinaten ergeben sich aus

${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12\\-1\\-9\end{pmatrix}}\,.$

e) Die Koordinaten ergeben sich aus

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}15\\-12\\5\end{pmatrix}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe