Basiswechsel/Übergangsmatrix/Teilsummen/Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},v_{2},v_{3}$ eine Basis eines dreidimensionalen ${}K$-Vektorraumes ${}V$.

a) Zeige, dass ${}{\mathfrak {w}}=v_{1},v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3}$ ebenfalls eine Basis von ${}V$ ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$.

c) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$.

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}$ besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}$ besitzt.

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