Basiswechsel/Streckungen/Übergangsmatrix/Aufgabe

Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis eines ${}K$-Vektorraumes ${}V$. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ von ${}0$ verschiedene Elemente.

a) Zeige, dass ${}{\mathfrak {w}}=a_{1}v_{1},a_{2}v_{2},a_{3}v_{3},\ldots ,a_{n}w_{n}$ ebenfalls eine Basis von ${}V$ ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}$.

c) Bestimme die Übergangsmatrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$.

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}1\\2\\3\\\vdots \\n\end{pmatrix}}$ besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}1\\2\\2^{2}\\\vdots \\2^{n}\end{pmatrix}}$ besitzt.

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