Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Bedingte WahrscheinlichkeitBearbeiten

Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum  , Gleichverteilung über   und  .  . In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse:

  •  : Stochastik-Klausur bestanden
  •  : Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden
  • Mit welcher Wahrscheinlichkeit   besteht man die Stochastik-Klausur  , wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h.   erfüllt ist)?

VorlüberlegungBearbeiten

Wir nehmen an, dass das Ereignis   eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von  , unter der Bedingung, dass   eingetreten ist?

  1. Wenn die Bedingung   eintritt, so kann   nur dann eintreten, wenn das Ereignis   eintritt.
  2. Wir konzentrieren uns auf die Realisationen   und betrachten sie als gleichwahrscheinlich (Laplace-Verteilung).
  3. Allgemein gilt dann   für alle  .

Berechnung mit Laplace-VerteilungBearbeiten

Damit kann die Wahrscheinlichkeit von   unter der Bedingung   wie folgt definiert werden:

 

Dabei wurde der Bruch mit   erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse   und   zu erzeugen.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Wahrscheinlichkeitsraum,   mit  .

a) Die Abbildung  , die gemäß   definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über   unter (der Bedingung)  .
b) Die Zahl   heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von   unter (der Bedingung)  .

AufgabenstellungBearbeiten

  1. Beweisen Sie, dass   eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Messraum   ist.
  2. Es gilt  . Die Wahrscheinlichkeit von   ist allerdings auf   konzentriert".
  • Zeigen Sie dazu, dass   für alle  
  • Zeigen Sie, dass für  ,   gilt, dass   (Hinweis: Zeigen Sie, dass   gilt!)

Tausch der Bedingung und EreignisBearbeiten

Weißer und schwarzer Würfel werden gleichzeitig geworfen. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, mit dem schwarzen Würfel eine '6' zeigt ( ) unter der Bedingung, dass die Summe der Augenzahlen '11' beträgt ( ).

  • Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit  
  • Berechnen Sie ferner die Wahrscheinlichkeit  , also der Wahrscheinlichkeit, dass die Würfelsumm 11 beträgt unter der Bedingung, dass der schwarze Würfel eine 6 zeigt.

AnmerkungBearbeiten

Formt man die Definitionsformel von oben um zu  , so kann die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von   und   durch mit der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen.

Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf   durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen.

Anmerkung

Definition: ZerlegungBearbeiten

  heißt Zerlegung von   auf  , falls   für alle   und   Zerlegung

ZerlegungssatzBearbeiten

Sei   eine Zerlegung von   auf  . Für jedes   sei eine auf   konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung  auf   gegeben (d.h.  ) sowie Zahlen   mit  .

  • (a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung   auf   mit
    • (i)  .
    • (ii)  , falls   für alle  .
  • (b) Es gilt   für jedes  .

Zerlegungsatz 1

Beweis Existenz (i)Bearbeiten

Man definiere   gemäß Formel b) und rechnet nach, dass   eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf   ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten  

 

Daraus folgt sofort (ai)  .

Beweis Existenz (ii)Bearbeiten

Für ein beliebiges   und   gilt

 
 

also ii).

Beweis EindeutigkeitBearbeiten

Sei   eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf  , die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für   und wegen   die Gleichung

 
 

Satz der totalen WahrscheinlichkeitBearbeiten

Für jedes   und eine Zerlegung   von   auf   gilt also für alle  :

 

("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit").

Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit über die Zerlegung von  .

Formel von Bayes (Satz)Bearbeiten

Ist   eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf  ,   einer Zerlegung von   auf   , so gilt für jedes   mit   und  

 

BeweisBearbeiten

 

BemerkungBearbeiten

Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen   die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von  .

Beispiel (Test auf eine Krankheit)Bearbeiten

  sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung.   der Bevölkerung ( ) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei   der Kranken aus   an und bei   der Gesunden ( ) positiv an (  Sensitivität,   Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person   die Krankheit,

  • wenn der Test positiv ausfällt?
  • wenn der Test negativ ausfällt?

Produktformel (Satz)Bearbeiten

Sei   eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf   und seien   mit  . Dann gilt die sogenannte "Produktformel":

 

BeweisBearbeiten

Die Faktoren auf der rechten Seite sind definiert wegen

 
 
 
 

BemerkungBearbeiten

Dieser Satz verallgemeinert die Formel  

Seiten-InformationBearbeiten

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