Bedingte Wahrscheinlichkeit

Gegeben sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ , Gleichverteilung über $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ und ${\mathcal {S}}:=\wp ((\Omega )$ . $A,B\subset \Omega ,A\neq \varnothing$ . In dem einführenden Beispiel betrachten wir die Ereignisse:

$A$ : Stochastik-Klausur bestanden
$B$ : Fachwissenschaftliche Grundlagen mit 4,0 bestanden
Mit welcher Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ besteht man die Stochastik-Klausur $A$ , wenn man die Klausur zu den fachwissenschaftlichen Grundlagen nur mit 4,0 bestanden hat (d.h. $B$ erfüllt ist)?

Vorüberlegung

Wir nehmen an, dass das Ereignis $B$ eintritt. Welche Definition ist sinnvoll für die Wahrscheinlichkeit von $B$ , unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist?

Wenn die Bedingung $B$ eintritt, so kann $A$ nur dann eintreten, wenn das Ereignis $A\cap B$ eintritt.
Wir konzentrieren uns auf die Realisationen $\omega \in A$ und betrachten sie als gleichwahrscheinlich (Laplace-Verteilung).
Allgemein gilt dann $P(C)={\frac {|C|}{|\Omega |}}$ für alle $C\in {\mathcal {S}}$ .

Berechnung mit Laplace-Verteilung

Damit kann die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ wie folgt definiert werden:

P(A|B):={\frac {|A\cap B|}{|B|}}={\frac {|A\cap B|\setminus |\Omega |}{|B|\setminus |\Omega |}}={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}

Dabei wurde der Bruch mit ${\frac {1}{|\Omega |}}$ erweitert, um in Zähler und Nenner die Laplace-Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $A\cap B$ und $B$ zu erzeugen.

Definition

Sei $(\Omega ,{\mathcal {S}},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $A\in {\mathcal {S}}$ mit $P(B)>0$ .

a) Die Abbildung $P(\cdot |B):{\mathcal {S}}\to [0,1]$ , die gemäß $P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},A,B\in {\mathcal {S}}$ definiert ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung über $\Omega$ unter (der Bedingung) $B$ .
b) Die Zahl $P(A|B)$ heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von $A$ unter (der Bedingung) $B$ .

Aufgabenstellung

Beweisen Sie, dass $P(\cdot |B)$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Messraum $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ ist.
Es gilt $P(\Omega |B)=1$ . Die Wahrscheinlichkeit von $P(\cdot |B)$ ist allerdings auf $B$ konzentriert".

Zeigen Sie dazu, dass $P(A|B)=0$ für alle $A\subset {\bar {B}}=\Omega \setminus B$
Zeigen Sie, dass für $B\subset A$ , $A\not =B$ gilt, dass $P(A|B)=1$ (Hinweis: Zeigen Sie, dass $P({\bar {A}}|B)=0$ gilt!)

Tausch der Bedingung und Ereignis

Weißer und schwarzer Würfel werden gleichzeitig geworfen. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit, mit dem schwarzen Würfel eine '6' zeigt ( $A$ ) unter der Bedingung, dass die Summe der Augenzahlen '11' beträgt ( $B$ ).

Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$
Berechnen Sie ferner die Wahrscheinlichkeit $P(B|A)$ , also der Wahrscheinlichkeit, dass die Würfelsumm 11 beträgt unter der Bedingung, dass der schwarze Würfel eine 6 zeigt.

Anmerkung

Formt man die Definitionsformel von oben um zu $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$ , so kann man die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitig Eintretens von $A$ und $B$ mithilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit darstellen.

Wir betrachten im Nachfolgenden eine Technik, eine Wahrscheinlichkeit auf $\Omega$ durch bedingten Wahrscheinlichkeiten zusammenzusetzen.

Anmerkung

Definition: Zerlegung

$(A_{1},...,A_{m})$ heißt Zerlegung von $\Omega$ auf $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ , falls $\bigcup _{i=1}^{m}A_{i}=\Omega ,A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ für alle $i\neq j$ und $A_{i},A_{j}\in {\mathcal {S}}$ Zerlegung

Zerlegungssatz

Sei $(A_{1},...,A_{m})$ eine Zerlegung von $\Omega$ auf $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ . Für jedes $i=1,...,m$ sei eine auf $A_{i}$ konzentrierte Wahrscheinlichkeitsverteilung ${Q_{A}}_{i}$ auf $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ gegeben (d.h. ${Q_{A}}_{i}(A_{i})=1$ ) sowie Zahlen $p_{i}\in [0,1]$ mit $\sum _{i=1}^{m}p_{i}=1$ .

(a) Dann existiert genau eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P$ auf $\Omega$ mit
- (i) $P(A_{i})=p_{i}$ .
- (ii) $P(B|A_{i})={Q_{A}}_{i}(B)$ , falls $p_{i}>0$ für alle $i=1,...,m$ .
(b) Es gilt $P(B)=\sum _{i=1}^{m}p_{i}\cdot {Q_{A}}_{i}(B)$ für jedes $B\in {\mathcal {S}}$ .

Zerlegungsatz 1

Beweis Existenz (i)

Man definiere $P$ gemäß Formel b) und rechnet nach, dass $P$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\Omega$ ist. Wie in der letzten Bemerkung gilt für die paarweise disjunkten $A_{i}$

{Q_{A}}_{i}(A_{j})=\left\{{\begin{array}{ll}0,&i\neq j\\1,&i=j\end{array}}\right.

Daraus folgt sofort (ai) $P(A_{k})=\sum _{i=1}^{m}p_{i}\cdot {Q_{A}}_{i}(A_{k})=p_{k}$ .

Beweis Existenz (ii)

Für ein beliebiges $p_{i}>0$ und $B\in {\mathcal {S}}$ gilt

P(B|A_{i})={\frac {P(A_{i}\cap B)}{P(A_{i})}}={\frac {1}{p_{i}}}\sum _{j=1}^{m}p_{j}{Q_{A}}_{j}(A_{i}\cap B)=

={\frac {p_{i}}{p_{i}}}({Q_{A}}_{i}(A_{i}\cap B)+{Q_{A}}_{i}({\bar {A}}_{i}\cap B)={Q_{A}}_{i}(B))

also ii).

Beweis Eindeutigkeit

Sei ${\tilde {P}}$ eine (weitere) Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ , die (ai) und (aii) erfüllt. Dann gilt für $B\subset \Omega$ und wegen $B=\Omega \cap B=\left(\bigcup _{j=1}^{m}A_{j}\right)\cap B$ die Gleichung

{\tilde {P}}(B)={\tilde {P}}\left(\bigcup _{j=1}^{m}A_{j}\cap B\right)=\sum _{j=1}^{m}{\tilde {P}}(A_{j}\cap B)=

=\sum _{j=1}^{m}{\tilde {P}}(A_{j})\cdot {\tilde {P}}(B|A_{j}){\stackrel {(i),(ii)}{=}}\sum _{j=1}^{m}p_{j}{Q_{A}}_{j}(B)=P(B).\qquad \Box

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

Für jedes $B\subset \Omega$ und eine Zerlegung $(A_{1},\ldots ,A_{m})$ von $\Omega$ auf $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ gilt also für alle $B\in {\mathcal {S}}$ :

P(B)=\sum _{j=1}^{m}P(A_{j})P(B|A_{j})

("Formel der totalen Wahrscheinlichkeit").

Beweisen Sie den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit über die Zerlegung von $\Omega$ .

Formel von Bayes (Satz)

Ist $P$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\Omega$ , $(A_{1},...,A_{m})$ einer Zerlegung von $\Omega$ auf $(\Omega ,{\mathcal {S}})$ , so gilt für jedes $B\in {\mathcal {S}}$ mit $P(B)>0$ und $i=1,...,m$

P(A_{i}|B)={\frac {P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}{\sum _{j=1}^{m}P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}}.

Beweis

P(A_{i}|B)={\frac {P(A_{i}\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B|A_{i})\cdot P(A_{i})}{\sum _{j=1}^{m}P(B|A_{j})\cdot P(A_{j})}}

Bemerkung

Man beachte, dass auf der linken und rechten Seite "Argument und Bedingung" vertauscht auftreten. In einer außermathematischen Deutung spielen $A_{j}$ die Rolle von (verschiedenen) Ursachen für die Wirkung von $B$ .

Beispiel (Test auf eine Krankheit)

$\Omega$ sei die Gesamtheit der Personen aus der Bevölkerung. $p\cdot 100\%$ der Bevölkerung ( $K\subset \Omega$ ) leidet an der Krankheit. Ein Test für diese Krankheit spreche bei $k\cdot 100\%$ der Kranken aus $K$ an und bei $g\cdot 100\%$ der Gesunden ( $\Omega \setminus K$ ) positiv an ( $k=$ Sensitivität, $1-g=$ Spezifität des Testes). Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat eine zufällig ausgewählte Person $\omega \in \Omega$ die Krankheit,

wenn der Test positiv ausfällt?
wenn der Test negativ ausfällt?

Produktformel (Satz)

Sei $P$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\Omega$ und seien $A_{1},...,A_{n}\subset \Omega$ mit $P(A_{1}\cap ...\cap A_{n-1})>0$ . Dann gilt die sogenannte "Produktformel":