Bedingte Wahrscheinlichkeit/Abschätzung/Gegenrichtung/2/Aufgabe/Lösung

Die Voraussetzung bedeutet

{}P(E{|}B)={\frac {P(E\cap B)}{P(B)}}\geq P(E)\,

bzw.

{}P(E\cap B)\geq P(E)\cdot P(B)\,.

Wir multiplizieren diese Abschätzung mit ${}-1$ und erhalten

{}-P(E\cap B)\leq -P(E)\cdot P(B)\,.

Durch Addition mit ${}P(E)$ ergibt sich

{}P(E)-P(E\cap B)\leq P(E)-P(E)\cdot P(B)=P(E)(1-P(B))\,.

Auf der rechten Seite ist

{}1-P(B)=P(M\setminus B)\,.

Wegen ${}E=E\cap B\uplus E\cap (M\setminus B)$ ist

{}P(E)=P(E\cap B)+P(E\cap (M\setminus B))\,,

auf der rechten Seite steht also ${}P(E\cap (M\setminus B))$ . Deshalb liegt die Abschätzung

{}P(E\cap (M\setminus B))\leq P(E)\cdot P(M\setminus B)\,

vor. Dies bedeutet

{}P(E{|}M\setminus B)\leq {\frac {P(E\cap (M\setminus B))}{P(M\setminus B)}}=P(E)\,.