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Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt

Aufgabe

Eine jährlich stattfindende Vereinsmeisterschaft führt zu einer (Meisterschafts)-Abbildung

$J\longrightarrow V,\,j\longmapsto m(j),$

wobei ${}J$ die endliche Menge der Jahre ist, in denen eine Meisterschaft durchgeführt wurde, ${}V$ die Menge der Vereine und ${}m(j)$ den Meisterverein des Jahres ${}j$ bezeichnet. Die Anzahl der gewonnenen Meisterschaften führt zu einer Abbildung

$a_{j}\colon V\longrightarrow \mathbb {N} ,\,v\longmapsto a_{j}(v)={\#\left({\left\{i\in J\mid m(i)=v,\,i\leq j\right\}}\right)}.$

Ein Verein ${}v$ heißt Rekordmeister im Jahr ${}j\in J$, wenn ${}a_{j}(v)\geq a_{j}(w)$ für alle ${}w\in V$ ist. Die Rekordmeisterabbildung ist die Abbildung

$J\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(V),\,j\longmapsto R^{(1)}(j),$

mit

$R^{(1)}(j)={\left\{v\in V\mid v{\text{ ist Rekordmeister im Jahr }}j\right\}}$

und die zugehörige Anzahl der gewonnenen Rekordmeisterschaften führt zur Rekordmeisterschaftsanzahl

$a_{j}^{(1)}\colon V\longrightarrow \mathbb {N} ,\,v\longmapsto a_{j}^{(1)}(v)={\#\left({\left\{i\in J\mid v\in R^{(1)}(i),\,i\leq j\right\}}\right)}.$

Durch diese Anzahl kann man wiederum die Menge der Rekordrekordmeister ${}R^{(2)}(j)$ im Jahr ${}j$ definieren und damit wiederum die Anzahlfunktion ${}a_{j}^{(2)}(v)$ der Rekordrekordmeister, die zum Rekordrekordrekordmeister (${}{\text{Rekord}}^{(3)}-{\text{Meister}}$) führt, usw.

1. Wer ist 2015 Rekordrekordmeister im Fußball der Männer?
2. Erstelle eine Liste sämtlicher ${}{\text{Rekord}}^{(n)}-{\text{Meister}}$ im Fußball der Männer.
3. Begründe, dass ein ${}{\text{Rekord}}^{(n+1)}-{\text{Meister}}$ mindestens einmal ${}{\text{Rekord}}^{(n)}-{\text{Meister}}$ gewesen sein muss.
4. Zeige, dass es zu jedem (möglichen) geschichtlichen Verlauf ein ${}n$ derart gibt, dass die erste Meisterschaftsmannschaft der jetzige ${}{\text{Rekord}}^{(n)}-{\text{Meister}}$ ist.