Benutzer:Exxu/InArbeit07

Variante mit "Quickinfo-Box" zum Gleicheitszeichen Bearbeiten

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

$\left({\frac {53}{311}}\right)$	= $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ . \|\| $\left({\frac {311}{53}}\right)$
	=Reduktion des Zählers. \|\| $\left({\frac {46}{53}}\right)$ \|\|
	=Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. \|\| $\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$ \|\|
	= $53=5\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$ . \|\| - $\left({\frac {23}{53}}\right)$ \|\|
	= $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .	- $\left({\frac {53}{23}}\right)$
	=Reduktion des Zählers. \|\| - $\left({\frac {7}{23}}\right)$ \|\|
	= $7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$ . \|\| $\left({\frac {23}{7}}\right)$ \|\|
	=Reduktion des Zählers. \|\| $\left({\frac {2}{7}}\right)$ \|\|
	= $7=-1\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$ ). \|\| $1$ \|\|

Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$ .

Variante mit "Quickinfo-Box" zur rechten Gleichungsseite Bearbeiten

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

$\left({\frac {53}{311}}\right)$	=	$\left({\frac {311}{53}}\right)$ $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .
	=	$\left({\frac {46}{53}}\right)$ Reduktion des Zählers. \|\|
	=	$\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$ Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. \|\|
	=	- $\left({\frac {23}{53}}\right)$ $53=5\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$ . \|\|
	=	- $\left({\frac {53}{23}}\right)$ $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .
	=	- $\left({\frac {7}{23}}\right)$ Reduktion des Zählers. \|\|
	=	$\left({\frac {23}{7}}\right)$ $7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$ . \|\|
	=	$\left({\frac {2}{7}}\right)$ Reduktion des Zählers. \|\|
	=	$1$ $7=-1\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$ ). \|\|

Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$ .

Variante mit "Erläuterungen" Bearbeiten

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

$\left({\frac {53}{311}}\right)$	=^[1]	$\left({\frac {311}{53}}\right)$
	=^[2]	$\left({\frac {46}{53}}\right)$
	=^[3]	$\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$
	=^[4]	- $\left({\frac {23}{53}}\right)$
	=^[5]	- $\left({\frac {53}{23}}\right)$
	=^[6]	- $\left({\frac {7}{23}}\right)$
	=^[7]	$\left({\frac {23}{7}}\right)$
	=^[8]	$\left({\frac {2}{7}}\right)$
	=^[9]	$1$

Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$ .

Kombinierte Variante mit "Erläuterungen" und "Quickinfo" Bearbeiten

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

$\left({\frac {53}{311}}\right)$	= $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .^[1] \|\| $\left({\frac {311}{53}}\right)$
	=Reduktion des Zählers.^[2] \|\| $\left({\frac {46}{53}}\right)$ \|\|
	=Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.^[3] \|\| $\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$ \|\|
	= $53=5\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$ .^[4] \|\| - $\left({\frac {23}{53}}\right)$ \|\|
	= $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .^[5]	- $\left({\frac {53}{23}}\right)$
	=Reduktion des Zählers.^[6] \|\| - $\left({\frac {7}{23}}\right)$ \|\|
	= $7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$ .^[7] \|\| $\left({\frac {23}{7}}\right)$ \|\|
	=Reduktion des Zählers.^[8] \|\| $\left({\frac {2}{7}}\right)$ \|\|
	= $7=-1\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$ ).^[9] \|\| $1$ \|\|

Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$ .

Erläuterungen Bearbeiten

↑ ^1,0 ^1,1 $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .
↑ ^2,0 ^2,1 Reduktion des Zählers.
↑ ^3,0 ^3,1 Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.
↑ ^4,0 ^4,1 $53=5\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$ .
↑ ^5,0 ^5,1 $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .
↑ ^6,0 ^6,1 Reduktion des Zählers.
↑ ^7,0 ^7,1 $7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$ .
↑ ^8,0 ^8,1 Reduktion des Zählers.
↑ ^9,0 ^9,1 $7=-1\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$ ).

Variante mit "Klapptabellen" (ein- bzw. zweizeilig) Bearbeiten

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

\left({\frac {53}{311}}\right)

=
$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .

\left({\frac {311}{53}}\right)

=
Reduktion des Zählers.

\left({\frac {46}{53}}\right)

=
Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.

\left({\frac {2}{53}}\right)

\left({\frac {23}{53}}\right)

=
$53=5\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$ .

-\left({\frac {23}{53}}\right)

=
$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .

-\left({\frac {53}{23}}\right)

=
Reduktion des Zählers.

-\left({\frac {7}{23}}\right)

=
$7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$ .

\left({\frac {23}{7}}\right)

=
Reduktion des Zählers.

\left({\frac {2}{7}}\right)

=
$7=-1\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$ ).

1

Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$ .

Variante mit "Move"-Tabellen Bearbeiten

Wir berechnen Schritt für Schritt das Legendre-Symbol.

\left({\frac {53}{311}}\right)

=

Erläuterung:
$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .

\left({\frac {311}{53}}\right)

=

Erläuterung:
Reduktion des Zählers.

\left({\frac {46}{53}}\right)

=

Erläuterung:
Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.

\left({\frac {2}{53}}\right)

\left({\frac {23}{53}}\right)

=

Erläuterung:
$53=5\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$ .

-\left({\frac {23}{53}}\right)

=

Erläuterung:
$53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .

-\left({\frac {53}{23}}\right)

=

Erläuterung:
Reduktion des Zählers.

-\left({\frac {7}{23}}\right)

=

Erläuterung:
$7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$ .

\left({\frac {23}{7}}\right)

=

Erläuterung:
Reduktion des Zählers.

\left({\frac {2}{7}}\right)

=

Erläuterung:
$7=-1\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$ ).

1

Also ist $53$ ein Quadratrest modulo $311$ .

[Grund_1-1] 1,0 ^1,1 $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .

[Grund_2-2] 2,0 ^2,1 Reduktion des Zählers.

[Grund_3-3] 3,0 ^3,1 Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.

[Grund_4-4] 4,0 ^4,1 $53=5\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$ .

[Grund_5-5] 5,0 ^5,1 $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .

[Grund_6-6] 6,0 ^6,1 Reduktion des Zählers.

[Grund_7-7] 7,0 ^7,1 $7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$ .

[Grund_8-8] 8,0 ^8,1 Reduktion des Zählers.

[Grund_9-9] 9,0 ^9,1 $7=-1\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$ ).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

$\left({\frac {53}{311}}\right)$	= $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ . \|\| $\left({\frac {311}{53}}\right)$
	=Reduktion des Zählers. \|\| $\left({\frac {46}{53}}\right)$ \|\|
	=Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. \|\| $\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$ \|\|
	= $53=5\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$ . \|\| - $\left({\frac {23}{53}}\right)$ \|\|
	= $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .	- $\left({\frac {53}{23}}\right)$
	=Reduktion des Zählers. \|\| - $\left({\frac {7}{23}}\right)$ \|\|
	= $7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$ . \|\| $\left({\frac {23}{7}}\right)$ \|\|
	=Reduktion des Zählers. \|\| $\left({\frac {2}{7}}\right)$ \|\|
	= $7=-1\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$ ). \|\| $1$ \|\|

$\left({\frac {53}{311}}\right)$	=	$\left({\frac {311}{53}}\right)$ $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .
	=	$\left({\frac {46}{53}}\right)$ Reduktion des Zählers. \|\|
	=	$\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$ Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz. \|\|
	=	- $\left({\frac {23}{53}}\right)$ $53=5\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$ . \|\|
	=	- $\left({\frac {53}{23}}\right)$ $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .
	=	- $\left({\frac {7}{23}}\right)$ Reduktion des Zählers. \|\|
	=	$\left({\frac {23}{7}}\right)$ $7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$ . \|\|
	=	$\left({\frac {2}{7}}\right)$ Reduktion des Zählers. \|\|
	=	$1$ $7=-1\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$ ). \|\|

$\left({\frac {53}{311}}\right)$	= $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .^[1] \|\| $\left({\frac {311}{53}}\right)$
	=Reduktion des Zählers.^[2] \|\| $\left({\frac {46}{53}}\right)$ \|\|
	=Multiplikativität des Legendre-Symbols im Zähler gemäß diesem Satz.^[3] \|\| $\left({\frac {2}{53}}\right)$ $\left({\frac {23}{53}}\right)$ \|\|
	= $53=5\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ kein Quadratrest modulo $53$ .^[4] \|\| - $\left({\frac {23}{53}}\right)$ \|\|
	= $53$ hat modulo $4$ den Rest $1$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $1$ .^[5]	- $\left({\frac {53}{23}}\right)$
	=Reduktion des Zählers.^[6] \|\| - $\left({\frac {7}{23}}\right)$ \|\|
	= $7$ und $23$ haben beide modulo $4$ den Rest $3$ , deshalb ist das Vorzeichen im quadratischen Reziprozitätsgesetz gleich $-1$ .^[7] \|\| $\left({\frac {23}{7}}\right)$ \|\|
	=Reduktion des Zählers.^[8] \|\| $\left({\frac {2}{7}}\right)$ \|\|
	= $7=-1\mod 8$ , deshalb ist nach dem 2. Ergänzungsgesetz $2$ ein Quadratrest modulo $7$ (oder direkt $3^{2}=2\mod 7$ ).^[9] \|\| $1$ \|\|