Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Legendre ist multiplikativ/Fakt mit Beweisklappe

Satz

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Dann ist die Abbildung

${\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow \{\pm 1\},\,k\longmapsto \left({\frac {k}{p}}\right),$

ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Die Quadrate bilden offenbar eine Untergruppe in der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$, die nach Fakt den Index ${}2$ besitzt. Daher ist

${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }/{\text{Quadrate}}\cong \mathbb {Z} /(2)\cong \{\pm 1\}\,$

und die Restklassenabbildung ist gerade die Abbildung auf das Legendre-Symbol.

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