Benutzer:Nico3000/Lemma über die Produktdarstellung/Beweis

Sei $T=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$. Es ist $|p^{-s}|<1$ nach Voraussetzung über den Realteil. Unter Verwendung der geometrischen Reihe ergibt sich

$\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$	$=$ Einfache Produktauflösung	${\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}$
	$=$ Lemma	$\left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)$
	$=$ Umformulierung des Produktes der Summen. Oberer Ausdruck ist das Produkt über den Summen aller möglichen Potenzen der $p_{k}^{-s}$. Dies ist gleich der Summer über allen Potenzen der $p_{k}^{-s}$.	$\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}$
	$=$ Potenzrechengesetze: $(x^{l})^{k}=(x^{k})^{l}$ und ${x_{1}}^{k}\cdot {x_{2}}^{k}=(x_{1}\cdot x_{2})^{k}$	$\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}$
	$=$ Die Summe über allen möglichen Produkten der $p\in T$ sind gerade die aus diesen $p$ zusammengesetzten Zahlen $n\in M(T)$	$\sum _{n\in M(T)}n^{-s}$ .