Benutzer:Tanik/Lucas-Test/Berechnung der Folgeglieder/Bemerkung

Die Folgenglieder für ${}n=0\,\,{\text{und}}\,\,n=1$ kann man leicht ablesen:

${}U_{0}=0,\,\,U_{1}=1\,$

${}V_{0}=2,\,\,V_{1}=a+b=P\,$

Die Lucas-Folgen erfüllen die Rekursion

${}U_{n+2}=PU_{n+1}-QU_{n}\,\,\,$

bzw.

${}V_{n+2}=PV_{n+1}-QV_{n}\,\,,{\text{wobei}}\,\,n\geq 0\,,$

Das heisst, dass jeder Term hängt linear von den zwei vorherigen ab.

Diese Rekursionen kann man durch Nachrechnen überprüfen.

${}{\begin{aligned}PU_{n+1}-QU_{n}&=(a+b){\frac {a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}}-ab{\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}\\&={\frac {a^{n+2}-ab^{n+1}+ba^{n+1}-b^{n+2}-a^{n+1}b+ab^{n+1}}{a-b}}\\&={\frac {a^{n+2}-b^{n+2}}{a-b}}\\&=U_{n+2}\,.\end{aligned}}$

Die Richtigkeit der zweiten Rekursion kann analog gezeigt werden.

Die Lucas-Folgen haben noch weitere Eigenschaften. Man geht davon aus, dass ${}m\not \geq n$ ist, dann gilt:

${}{\begin{aligned}U_{m+n}&={\frac {a^{m+n}-b^{m+n}}{a-b}}\\&={\frac {(a^{m}-b^{m})(a^{n}+b^{n})}{a-b}}-{\frac {a^{n}b^{n}(a^{m-n}-b^{m-n})}{a-b}}\\&=U_{m}V_{n}-Q^{n}U_{m-n}\,;\end{aligned}}$

${}{\begin{aligned}V_{m+n}&=a^{m+n}+b^{m+n}\\&=(a^{m}+b^{m})(a^{n}+b^{n})-a^{n}b^{n}(a^{m-n}+b^{m-n})\\&=V_{m}V_{n}-Q^{n}V_{m-n}\,.\end{aligned}}$

Daraus für ${}m=n\,$ folgt:

${}U_{2n}=U_{n}V_{n}-Q^{n}U_{0}=U_{n}V_{n}\,$

${}V_{2n}=V_{n}U_{n}-Q^{n}V_{0}={V_{n}}^{2}-2Q^{n}\,$

und für ${}m=n+1\,$:

${}U_{2n+1}=U_{n+1}V_{n}-Q^{n}U_{1}=U_{n+1}V_{n}-Q^{n}\,$

${}V_{2n+1}=V_{n+1}V_{n}-Q^{n}V_{1}=V_{n+1}V_{n}-Q^{n}P\,.$

Damit wurde gezeigt, dass alle Folgeglieder aus $\mathbb {Z}$ sind.