Benutzer:Tanik/Lucas-Test
„Es wird wohl noch mindestens eine Million Jahre vergehen, bevor wir die Primzahlen verstehen“ Paul Erdös
- Lucas-Test
- Lucas-Folgen
Gegeben sei die Gleichung mit und , die Lösungen seien die reellen Zahlen und . und werden durch
definiert und Lucas-Folgen genannt.
Die Gleichung hat Diskriminante und damit die Lösungen
Man beachte, dass
Die Folgenglieder für kann man leicht ablesen:
Die Lucas-Folgen erfüllen die Rekursion
bzw.
Das heisst, dass jeder Term hängt linear von den zwei vorherigen ab.
Diese Rekursionen kann man durch Nachrechnen überprüfen.
Die Richtigkeit der zweiten Rekursion kann analog gezeigt werden.
Die Lucas-Folgen haben noch weitere Eigenschaften. Man geht davon aus, dass ist, dann gilt:
Daraus für folgt:
und für :
Damit wurde gezeigt, dass alle Folgeglieder aus sind.
- Teilbarkeitseigenschaften der Folgeglieder
Für ein quadratfreies heisst die Menge
quadratischer Zahlenkörper.
Für ein ist dann .
Sei mit und quadratfrei. Ist so sind die Lösungen der Gleichung irrationale Zahlen aus dem quadratischen Zahlenkörper
Jeztz kann man ein Pendant zum Kleinen Fermatschen Satz in formulieren.
Falls in eine Einheit ist, dann folgt aus dem Satz, dass
- falls
oder
- falls
Aus Identitäten ergeben sich für und folgende Berechnungen(beachte ):
- falls
- falls
- soll wegen Division nicht sein
- daraus folgt, dass sein muss
- Zusammen mit muss die Bedingung erfüllt sein.
- Verhalten Potenzen von bzw. bezüglich der Teilbarkeit durch
Falls ist für ein bestimmtes und deshalb gilt , weil alle Terme abseits des ersten stets den Faktor enthalten. Man kann unter der Bedingung, dass in eine Einheit ist, durch Division durch das Folgende erhalten:
Analog erhält man
Mit diesen Identitäten können die folgenden Folgeglieder berechnet werden:
- für
- für
Das lässt sich wie folgt zusammenfassen:
- für
Die Beschränkung folgt aus dem Lemma und Bemerkung oben.