„Es wird wohl noch mindestens eine Million Jahre vergehen, bevor wir die Primzahlen verstehen“ Paul Erdös



Lucas-Test




Lucas-Folgen



Gegeben sei die Gleichung mit und , die Lösungen seien die reellen Zahlen und . und werden durch

definiert und Lucas-Folgen genannt.


Die Gleichung hat Diskriminante und damit die Lösungen

Man beachte, dass


Die Folgenglieder für kann man leicht ablesen:


Die Lucas-Folgen erfüllen die Rekursion


bzw.


Das heisst, dass jeder Term hängt linear von den zwei vorherigen ab.

Diese Rekursionen kann man durch Nachrechnen überprüfen.




Die Richtigkeit der zweiten Rekursion kann analog gezeigt werden.


Die Lucas-Folgen haben noch weitere Eigenschaften. Man geht davon aus, dass ist, dann gilt:






Daraus für folgt:




und für :





Damit wurde gezeigt, dass alle Folgeglieder aus sind.




Teilbarkeitseigenschaften der Folgeglieder



Für ein quadratfreies heisst die Menge

quadratischer Zahlenkörper.

Für ein ist dann .


Sei mit und quadratfrei. Ist so sind die Lösungen der Gleichung irrationale Zahlen aus dem quadratischen Zahlenkörper


Jeztz kann man ein Pendant zum Kleinen Fermatschen Satz in formulieren.



Wenn und eine ungerade Primzahl, dann

oder

Benutzer:Tanik/Lucas-Test/Fakt/Beweis


Falls in eine Einheit ist, dann folgt aus dem Satz, dass

falls

oder

falls



Die Bedingung in , ist identisch mit der Bedingung in .


Aus Identitäten ergeben sich für und folgende Berechnungen(beachte ):

falls


falls


  1. soll wegen Division nicht sein
  2. daraus folgt, dass sein muss
  3. Zusammen mit muss die Bedingung erfüllt sein.




Verhalten Potenzen von bzw. bezüglich der Teilbarkeit durch


Falls ist für ein bestimmtes und deshalb gilt , weil alle Terme abseits des ersten stets den Faktor enthalten. Man kann unter der Bedingung, dass in eine Einheit ist, durch Division durch das Folgende erhalten:


Analog erhält man

Mit diesen Identitäten können die folgenden Folgeglieder berechnet werden:

für
für


Das lässt sich wie folgt zusammenfassen:


für


Die Beschränkung folgt aus dem Lemma und Bemerkung oben.