Beringter Raum/Lokal freie Garben/Kurze exakte Sequenz/Determinantengarbe/Fakt

Satz über die Determinantengarbe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und sei

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {H}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von lokal freien Garben auf ${}X$.

Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

${}\operatorname {Det} G\cong \operatorname {Det} F\otimes \operatorname {Det} H\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen