Beringter Raum/Lokal freie Garben/Kurze exakte Sequenz/Determinantengarbe/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}r$ der Rang von ${}{\mathcal {F}}$ und ${}s$ der Rang von ${}{\mathcal {H}}$. Wir betrachten offene Teilmengen ${}U\subseteq X$, auf denen die drei beteiligten Garben trivialisieren und worauf die Garbensurjektion ${}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {H}}$ einen Schnitt besitzt. Solche offenen Mengen überdecken ${}X$. Es liegt dann die Situation

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}^{r}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}^{r+s}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}^{s}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor und sei

$\theta \colon {\mathcal {O}}_{U}^{s}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{U}^{r+s}$

ein Schnitt. Wir definieren

$\Psi \colon \bigwedge ^{r}{\mathcal {O}}_{U}^{r}\times \bigwedge ^{s}{\mathcal {O}}_{U}^{s}\longrightarrow \bigwedge ^{r+s}{\mathcal {O}}_{U}^{r+s}$

durch

$\Psi (u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{r},w_{1}\wedge \ldots \wedge w_{s}):=u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{r}\wedge \theta {\left(w_{1}\right)}\wedge \ldots \wedge \theta {\left(w_{s}\right)}\,.$

Diese Abbildung ist unabhängig vom gewählten Schnitt ${}\theta$. Für einen weiteren Schnitt ${}\theta '$ liegt ja ${}\theta -\theta '$ in ${}{\mathcal {F}}$. Doch dann ist

${}{\begin{aligned}u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{r}\wedge \theta '{\left(w_{1}\right)}\wedge \ldots \wedge \theta '{\left(w_{s}\right)}&=u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{r}\wedge {\left(\theta {\left(w_{1}\right)}+u_{1}'\right)}\wedge \ldots \wedge {\left(\theta {\left(w_{s}\right)}+u_{s}'\right)}\\&=u_{1}\wedge \ldots \wedge u_{r}\wedge \theta {\left(w_{1}\right)}\wedge \ldots \wedge \theta {\left(w_{s}\right)},\end{aligned}}$

da ja stets eine lineare Abhängigkeit zwischen den ${}r+1$ Vektoren ${}u_{1},\ldots ,u_{r},u_{j}'$ vorliegt und daher die entsprechenden Dachprodukte ${}0$ sind. Die Abbildung ${}\Psi$ ist bilinear und definiert daher eine lineare Abbildung

${\tilde {\Psi }}\colon \bigwedge ^{r}{\mathcal {O}}_{U}^{r}\otimes \bigwedge ^{s}{\mathcal {O}}_{U}^{s}\longrightarrow \bigwedge ^{r+s}{\mathcal {O}}_{U}^{r+s}.$

Da die Abbildungen kanonisch sind, induzierten sie auf kleineren offenen Teilmengen stets die gleiche Abbildung. Daher verkleben sie nach Fakt zu einem Garbenhomomorphismus

$\bigwedge ^{r}{\mathcal {F}}\otimes \bigwedge ^{s}{\mathcal {H}}\longrightarrow \bigwedge ^{r+s}{\mathcal {G}}.$

Dieser ist lokal aufgrund der expliziten Beschreibung ein Isomorphismus, also nach Fakt auch global ein Isomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage