Beringter Raum/Modul/Injektiv/Welk/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}U\subseteq X$ eine offene Teilmenge. Wir betrachten die Prägarbe

${}{\mathcal {P}}{\left(V\right)}:={\begin{cases}{\mathcal {O}}_{X}(V),{\text{ falls }}V\subseteq U,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und nennen die Vergarbung davon ${}{\mathcal {O}}_{U}$. Der natürliche Prägarbenhomomorphismus ${}{\mathcal {P}}\rightarrow {\mathcal {O}}_{X}$ führt nach Fakt  (4) zu einem Garbenhomomorphismus

${\mathcal {O}}_{U}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}.$

Dieser ist injektiv. Es ist

${}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{U},{\mathcal {I}}\right)}=\Gamma {\left(U,{\mathcal {I}}\right)}\,.$

Da ${}{\mathcal {I}}$ injektiv ist, lässt sich jedes Element daraus zu einem Element aus

${}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {O}}_{X},{\mathcal {I}}\right)}=\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\,$

fortsetzen. Dies bedeutet, dass die Restriktionsabbildung ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {I}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {I}}\right)}$ surjektiv ist.

Zur bewiesenen Aussage