Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodulgarbe/Lokaler Homomorphietest/Aufgabe

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$. Es sei

$\varphi \colon {\mathcal {M}}\longrightarrow {\mathcal {N}}$

ein Garbenmorphismus und es sei ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ eine offene Überdeckung. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Wenn die Abbildungen

   $\varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}$

   für alle ${}i$ mit der Addition verträglich sind, so gilt dies auch für

   $\varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.$

2. Wenn die

   $\varphi _{U_{i}}\colon \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {N}}\right)}$

   für alle ${}i$ mit den ${}\Gamma (U_{i},{\mathcal {O}}_{X})$-Skalarmultiplikationen verträglich sind, so gilt dies auch für

   $\varphi _{X}\colon \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {N}}\right)}.$

3. Wenn die

   $\varphi {|}_{U_{i}}\colon {\mathcal {M}}{|}_{U_{i}}\longrightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U_{i}}$

   ${}{\mathcal {O}}_{X}{|}_{U_{i}}$-Modulhomomorphismen für alle ${}i$ sind, so gilt dies auch für ${}\varphi$.

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