Bernoulli-Dreieck/Gewichtetes Mittel/p ist ein Drittel/Interpretation/Aufgabe/Lösung

  1. Es ergibt sich das folgende Schema.
  2. Der Induktionsanfang ist klar, da in der nullten Zeile eine einzige steht. Zum Beweis des Induktionsschrittes sei bereits bewiesen, dass die Summe in der -ten Zeile gleich ist. Jeder Eintrag der -ten Zeile geht zweifach in die nächste Zeile ein, nämlich einmal mit dem Faktor nach links und einmal mit dem Faktor nach rechts. Insgesamt wird dabei die Ausgangszahl auf die beiden Nachfolger in der folgenden Zeile verteilt. Die Gesamtsumme ändert sich dabei nicht und ist also wieder gleich .
  3. Es ist

    Für ist

    was mit der nullten Zeile übereinstimmt. Es gilt nach Fakt

    D.h. die Zahlen in der Binomialverteilung erfüllen also die rekursive Bedingungen aus Teil (1). Daher stehen in der -ten Zeile des Dreiecks die Zahlen der Binomialverteilung.