Bernoulli-Dreieck/Gewichtetes Mittel/p ist ein Drittel/Interpretation/Aufgabe

Wir betrachten, analog zum Pascalschen Dreieck, die folgende Rekursionsvorschrift und das dadurch erzeugte Dreieck. Die Zahlen darin seien mit ${}b_{n,k}$ bezeichnet, wobei sich ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ auf die Zeilennummer und ${}k$ auf die Position in der Zeile bezieht. Rekursionsanfang: In der nullten Zeile steht an der mittleren Stelle eine ${}1$ (alle Zeilen kann man sich durch beliebig viele Nullen nach links und nach rechts aufgefüllt denken). Rekursionsschritt: Aus einer Zeile ergibt sich die nächste Zeile, indem man

${}b_{n+1,k}:={\frac {1}{3}}b_{n,k-1}+{\frac {2}{3}}b_{n,k}\,$

setzt. Dies legt rekursiv jede Zeile fest.

1. Bestimme die ersten fünf Zeilen (also Zeile ${}0$ bis Zeile ${}4$).
2. Begründe induktiv, dass in jeder Zeile die Summe aller Einträge gleich ${}1$ ist.
3. Zeige, dass in der ${}n$-ten Zeile die Zahlen ${}B_{{\frac {2}{3}},n}(k)$, ${}k=0,1,\ldots ,n$, der Binomialverteilung zur Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {2}{3}}$ und zur Stichprobenlänge ${}n$ stehen.

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