Bernoulli-Polynome/Fourierreihe/Explizit/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}F_{2k}$ bzw. ${}F_{2k+1}$ die rechten Seiten der Gleichung. Wir zeigen, dass diese die gleichen Rekursionen wie die Bernoulli-Polynome erfüllen und daher mit diesen übereinstimmen müssen. Zunächst ist

${}F_{1}(t)=2\cdot (-1){\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}=-{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n}}=t-{\frac {1}{2}}=B_{1}(t)\,$

nach Fakt. Es ist

${}{\begin{aligned}F_{2k}'&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\right)}'\\&=2\cdot (-1)^{k}{\frac {(2k-1)!}{(2\pi )^{2k-1}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k-1}}}\\&=(2k)F_{2k-1}.\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}F_{2k+1}'&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k+1}}}{\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k+1}}}\right)}'\\&=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\\&=(2k+1)F_{2k}.\end{aligned}}$

Ferner ist ${}F_{2k}(0)=F_{2k}(1)$ und ${}F_{2k+1}(0)=F_{2k+1}(1)=0$, woraus die Normierungseigenschaft über das Integral folgt.

Zur bewiesenen Aussage